Problem Analysis #geometry_28

그림과 같이 $\overline{AB}=\overline{CD}=4$, $\overline{BC}=\overline{BD}=2\sqrt5$인 사면체 ABCD가 있고, 점 A에서 직선 CD에 내린 수선의 발 H에 대하여 두 평면 ABH와 BCD는 서로 수직이고 $\overline{AH}=4$이다. 삼각형 ABH의 무게중심을 G라 하고, 점 G를 중심으로 하고 평면 ACD에 접하는 구를 S라 하자. $\angle APG=\frac\pi2$인 구 S 위의 모든 점 P가 나타내는 도형을 T라 할 때, 도형 T의 평면 ABC 위로의 정사영의 넓이는?

[원문 그림의 텍스트 전사] 그림에서 H는 선분 CD 위에 있다. A는 밑면 BCD 밖에 있고, 구 S의 중심 G는 삼각형 ABH 내부에 표시되어 있다.

① $\frac\pi7$ ② $\frac\pi6$ ③ $\frac\pi5$ ④ $\frac\pi4$ ⑤ $\frac\pi3$