Problem Analysis #common_15

함수 $f(x)=\begin{cases}-x^2&(x<0)\\x^2-x&(x\ge0)\end{cases}$이고, 상수 a에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x)=\begin{cases}ax+a&(x<-1)\\0&(-1\le x<1)\\ax-a&(x\ge1)\end{cases}$이라 하자. 함수 $h(x)=\int_0^x(g(t)-f(t))\,dt$가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 a의 최댓값을 k라 하자. a=k일 때, $k+h(3)$의 값은?

① $\frac92$ ② $\frac{11}2$ ③ $\frac{13}2$ ④ $\frac{15}2$ ⑤ $\frac{17}2$