Problem Analysis #common_14

그림과 같이 $\overline{AB}=3$, $\overline{BC}=4$이고 $\angle B=\frac\pi2$인 직각삼각형 ABC가 있다. 선분 AB를 2:1로 내분하는 점을 D, 점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\overline{AD}$인 원이 선분 AC와 만나는 점을 E, 직선 AB가 이 원과 만나는 점 중 D가 아닌 점을 F라 하고, 호 EF 위의 점 G를 $\overline{CG}=2\sqrt6$이 되도록 잡는다. 세 점 C,E,G를 지나는 원 위의 점 H가 $\angle HCG=\angle BAC$를 만족시킬 때, 선분 GH의 길이는?

[원문 그림의 텍스트 전사] 그림의 직선 AB 위 점들은 왼쪽부터 F,A,D,B 순서이고 C는 B 위쪽에 있다. G는 원 A의 위쪽 작은 호 EF 위에 있다. C,E,G,H를 지나는 원에서 H는 E를 포함하지 않는 호 CG 위에 있으며 그림의 왼쪽 위에 있다.

① $\frac{6\sqrt{15}}5$ ② $\frac{38\sqrt{10}}{25}$ ③ $\frac{14\sqrt3}5$ ④ $\frac{32\sqrt{15}}{25}$ ⑤ $\frac{8\sqrt{10}}5$