Problem Analysis #calculus_26

그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{x+x\ln x}$와 x축 및 두 직선 x=1, x=2로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는?

[원문 그림의 텍스트 전사] 그림은 x=1과 x=2 사이의 밑면 위에, 밑면의 x축과 곡선 사이 선분을 한 변으로 하는 정삼각형 단면들이 서 있는 입체를 나타낸다.

① $\frac{\sqrt3(3+8\ln2)}{16}$ ② $\frac{\sqrt3(5+12\ln2)}{24}$ ③ $\frac{\sqrt3(1+12\ln2)}{16}$ ④ $\frac{\sqrt3(1+2\ln2)}4$ ⑤ $\frac{\sqrt3(1+9\ln2)}{12}$