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For multiple-choice problems, put only one of ①, ②, ③, ④, ⑤ inside \boxed{}. For short-answer problems, put only the final integer inside \boxed{}. Do not use external tools.

Problem 8 Suppose that sinθ+ 3 cosθ= 0 and cos(π−θ)>0. Determine the value of sinθ. [3 points] ① 3 √ 10 10 ② √ 10 5 ③0 ④− √ 10 5 ⑤− 3 √ 10 10 더보기

주어진 식 sin ⁡ 𝜃 + 3 cos ⁡ 𝜃

0 sinθ+3cosθ=0에서 sin ⁡ 𝜃

− 3 cos ⁡ 𝜃 sinθ=−3cosθ이다.

또한 cos ⁡ ( 𝜋 − 𝜃 )

− cos ⁡ 𝜃

0 cos(π−θ)=−cosθ>0이므로 cos ⁡ 𝜃 < 0 cosθ<0이다.

sin ⁡ 𝜃

− 3 cos ⁡ 𝜃 sinθ=−3cosθ이고 cos ⁡ 𝜃 < 0 cosθ<0이므로 sin ⁡ 𝜃

0 sinθ>0이다.

삼각함수의 기본 공식 sin ⁡ 2 𝜃 + cos ⁡ 2 𝜃

1 sin 2 θ+cos 2 θ=1에 대입하면:

( − 3 cos ⁡ 𝜃 ) 2 + cos ⁡ 2 𝜃

1 ⇒ 9 cos ⁡ 2 𝜃 + cos ⁡ 2 𝜃

1 ⇒ 10 cos ⁡ 2 𝜃

1 ⇒ cos ⁡ 2 𝜃

1 10 (−3cosθ) 2 +cos 2 θ=1⇒9cos 2 θ+cos 2 θ=1⇒10cos 2 θ=1⇒cos 2 θ= 10 1 ​

따라서 cos ⁡ 𝜃

± 1 10 cosθ=± 10 ​

1 ​

인데, cos ⁡ 𝜃 < 0 cosθ<0이므로 cos ⁡ 𝜃

− 1 10 cosθ=− 10 ​

1 ​

이다.

그러면 sin ⁡ 𝜃

− 3 cos ⁡ 𝜃

− 3 ( − 1 10 )

3 10 sinθ=−3cosθ=−3(− 10 ​

1 ​

)= 10 ​

3 ​

이다.

이는 보기 ①에 해당한다.

\boxed{①}

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