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Problem 24 Evaluate Z π 2 0 p sinx−sin 3 x dx. [3 points] ① 1 6 ② 1 3 ③ 1 2 ④ 2 3 ⑤ 5 6 13 더보기

Looking at this problem, I need to evaluate:

∫ 0 𝜋 / 2 sin ⁡ 𝑥 − sin ⁡ 3 𝑥   𝑑 𝑥 ∫ 0 π/2 ​

sinx−sin 3 x ​

dx

Step 1: Simplify the integrand

sin ⁡ 𝑥 − sin ⁡ 3 𝑥

sin ⁡ 𝑥 ( 1 − sin ⁡ 2 𝑥 )

sin ⁡ 𝑥 cos ⁡ 2 𝑥 sinx−sin 3 x=sinx(1−sin 2 x)=sinxcos 2 x

So the integrand becomes:

sin ⁡ 𝑥 cos ⁡ 2 𝑥

sin ⁡ 𝑥 ⋅ ∣ cos ⁡ 𝑥 ∣ sinxcos 2 x ​

= sinx ​

⋅∣cosx∣

Step 2: Handle the absolute value

For 𝑥 ∈ [ 0 , 𝜋 / 2 ] x∈[0,π/2], cos ⁡ 𝑥 ≥ 0 cosx≥0, so ∣ cos ⁡ 𝑥 ∣

cos ⁡ 𝑥 ∣cosx∣=cosx.

sin ⁡ 𝑥 − sin ⁡ 3 𝑥

sin ⁡ 𝑥 ⋅ cos ⁡ 𝑥 sinx−sin 3 x ​

= sinx ​

⋅cosx

Step 3: Substitute

Let 𝑢

sin ⁡ 𝑥 u=sinx, so 𝑑 𝑢

cos ⁡ 𝑥   𝑑 𝑥 du=cosxdx.

When 𝑥

0 x=0: 𝑢

0 u=0 When 𝑥

𝜋 / 2 x=π/2: 𝑢

1 u=1

∫ 0 𝜋 / 2 sin ⁡ 𝑥 ⋅ cos ⁡ 𝑥   𝑑 𝑥

∫ 0 1 𝑢   𝑑 𝑢

∫ 0 1 𝑢 1 / 2   𝑑 𝑢 ∫ 0 π/2 ​

sinx ​

⋅cosxdx=∫ 0 1 ​

u ​

du=∫ 0 1 ​

u 1/2 du

Step 4: Evaluate

= [ 2 3 𝑢 3 / 2 ] 0 1

2 3 =[ 3 2 ​

u 3/2 ] 0 1 ​

= 3 2 ​

\boxed{④}

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